Question

某老板擬贊助甲，乙，丙，丁四位年輕人創(chuàng)業(yè)，現聘請了六位實業(yè)家，獨立地對每位年輕人的創(chuàng)業(yè)方案進行投票，假設這六位實業(yè)家對甲，乙，丙，丁投票結果為“贊成”的概率分別為，，，，若某年輕人沒有人“贊成”，則老板只贊助他1萬元，且每多獲得一個人的“贊成”，就多給2萬元的創(chuàng)業(yè)贊助；令ξ₁，ξ₂，ξ₃，ξ₄分別表示甲，乙，丙，丁獲得的贊助額．
（1）寫出ξ₃的分布列和ξ₃的數學期望與方差；（相應概率可用組合數表示）
（2）試估計這位老板的贊助總額．

Answer 1

【答案】分析：（1）ξ₃的取值可能為1，3，5，7，9，11，13，然后分別計算相應的概率，得到分布列，記η₃表示“贊成”丙的人數，則η₃～B（6，），再利用二項分布的概率公式可求出Eη₃，Dη₃，而ξ₃=1+2η₃可求出所求；
（2）同理分別求出Eξ₁，Eξ₂，Eξ₄，將這些值與Eξ₃相加即可求出所求．
解答：解：（1）ξ₃的取值可能為1，3，5，7，9，11，13
P（ξ₃=1）=，P（ξ₃=3）=，P（ξ₃=5）=，P（ξ₃=7）=，
P（ξ₃=9）=，P（ξ₃=11）=，P（ξ₃=13）=
ξ₃的分布列為：

ξ 3	1	3	5	7	9	11	13
P

記η₃表示“贊成”丙的人數，則η₃～B（6，），
則根據二項分布的數學期望公式可知Eη₃=6×=2，Dη₃=，
而ξ₃=1+2η₃，故Eξ₃=1+2Eη₃=5，Dξ₃=4Dη₃=，
所以ξ₃的數學期望為5萬元，方差為．
（2）同理Eξ₁=1+2Eη₁=3，Eξ₂=1+2Eη₂=4，Eξ₄=1+2Eη₄=10，Eξ₃=1+2Eη₃=5
估計這位老板的贊助總額為Eξ₁+Eξ₂+Eξ₃+Eξ₄=22萬元．
點評：本題主要考查了離散型隨機變量的分布列和數學期望，以及n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，同時考查了計算能力，屬于中檔題．