Question

數列

αn

中，α₁=6，且α_n-α_n-1=

αn-1

n

+n+1（n∈N⁺，n≥2），則這個數列的通項公式a_n

=（n+1）（n+2）

．

Answer 1

分析：先根據條件求出數列的前幾項，進而歸納猜想出數列的通項，然后利用數學歸納法的證明標準，驗證n=1時成立，假設n=k是成立，證明n=k+1時等式也成立即可．

解答：解：由α₁=6，且α_n-α_n-1=

αn-1

n

+n+1（n∈N⁺，n≥2），
得：a₂-a₁=

a1

2

+2+1⇒a₂=12=3×4；
同理可得：a₃=20=4×5；
a₄=30=5×6；
猜想：a_n=（n+1）（n+2）
證明：（1）當n=1時，a₁=2×3=6左邊=1²=1，成立．
（2）假設當n=k時，等式成立，即a_k=（k+1）（k+2）
那么，當 n=k+1時，
a_k+1=a_k+

ak

k+1

+（k+1）+1=（k+1）（k+2）+

(k+1)(k+2)

k+1

+（k+1）+1=（k+2）（k+3）；
就是說，當 n=k+1時等式也成立．----------------------（13分）
綜上所述，對任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）
故答案為：（n+1）（n+2）．

點評：本題主要考查由數列的遞推公式求數列的通項以及數學歸納法的應用，歸納推理推出猜想是解題的關鍵，注意數學歸納法證明時，必須用上假設．