Question

（2006•松江區(qū)模擬）已知函數(shù)f(x)=

cos2x

1-|sinx|

，x∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）在坐標(biāo)系中作出函數(shù)的草圖；
（2）研究其值域、奇偶性和單調(diào)性，并分別加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用零點分段法，我們可將函數(shù)函數(shù)f(x)=

cos2x

1-|sinx|

，x∈(-

π

2

，

π

2

)的解析式表示為分段函數(shù)的形式，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換法則，根據(jù)分段函數(shù)圖象分段畫的原則，即可畫出函數(shù)函數(shù)f(x)=

cos2x

1-|sinx|

，x∈(-

π

2

，

π

2

)的圖象．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)圖象，我們根據(jù)圖象法求函數(shù)值域，圖象法判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的方法，得到函數(shù)的值域、奇偶性和單調(diào)性，并可以根據(jù)奇偶性的定義和作差法進行證明．

解答：解：（1）f(x)=

cos2x

1-|sinx|

=

1+sinx，x∈[0 π 2 ) 1-sinx，x∈(- π 2 ，0)

，
（2）f（x）的值域為[1，2）．
∵f(-x)=

cos2(-x)

1-|sin(-x)|

=

cos2x

1-|sinx|

=f(x)，
∴f（x）是偶函數(shù)．
任取0≤x1＜x2＜

π

2

，
則1+sinx₁＜1+sinx₂，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，

π

2

)上是增函數(shù)，
又f（x）是偶函數(shù)，
在對稱區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性相反
∴f（x）在(-

π

2

，0)上是減函數(shù)．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性及其證明，函數(shù)的奇偶性及其證明，三角函數(shù)的化簡求值，是函數(shù)問題比較綜合的考查，其中根據(jù)零點分段法將函數(shù)的解析式化為分段函數(shù)的形式，并結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫出函數(shù)的草圖是解答本題的關(guān)鍵．