Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+（x＞1），若a是從-1，0，1，2四數(shù)中任取一個(gè)，b是從1，2，3，4，5五數(shù)中任取一個(gè)，那么f（x）＞b恒成立的概率為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：當(dāng)a=-1時(shí)，經(jīng)過檢驗(yàn)，不滿足f（x）＞b恒成立．當(dāng)a＞0時(shí)，先把f（x）的解析式變形，用分離常數(shù)法，然后用均值不等式求出最小值，一一列舉可得，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件有20個(gè)，滿足條件的事件有9個(gè)，列舉出結(jié)果，從而求得f（x）＞b恒成立的概率．
解答：當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+=-x+=-x+=1-x+，由于函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-1-＜0，
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（2）=0，故當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＜0．
而b是從1，2，3，4，5五數(shù)中任取一個(gè)，顯然不滿足當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞b恒成立．
∵函數(shù)f（x）=ax+（x＞1），當(dāng)a＞0時(shí)，
∴f（x）=ax+=ax+1+=a（x-1）++a+1≥2+a+1=，
當(dāng)且僅當(dāng)a（x-1）+時(shí)，等號(hào)成立，故f（x）min=．
于是f（x）＞b恒成立就轉(zhuǎn)化為＞b，
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）=1+＞1，由f（x）＞b恒成立可得，只有b=1．
設(shè)事件A：“f（x）＞b恒成立”，則基本事件總數(shù)（a，b）為20個(gè)：
（-1，1）、（-1，2）、（-1，3）、（-1，4）、（-1，5）、
（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）；（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），
（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）．
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（2，5），共9個(gè)．
故f（x）＞b恒成立的概率為 ，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，在使用古典概型的概率公式時(shí)，應(yīng)該注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；（2）要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)；當(dāng)解析式中含有分式，且分子分母是齊次的，注意運(yùn)用分離常數(shù)法來進(jìn)行式子的變形，在使用均值不等式應(yīng)注意一定，二正，三相等，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．