Question

已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（

9

5

m，

12

5

m），C（c，0），其中c＞0
（1）若c=5，m=1，P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊 AB、BC、AC的距離分別為x，y和z，求x+y+z的取值范圍；
（2）若m≠0，BC=5，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

（1）AB=3，Ac=5，BC=4；△ABC 是直角三角形     …（2分）
  2S_△ABC=3x+4y+5z=12?x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)   …（4分）

設(shè)t=2x+y，因?yàn)镻是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊 AB、BC、AC的距離分別為x，y和z，
所以

3x+4y≤12 x≥0 y≥0

   由線(xiàn)性規(guī)劃得0≤t≤8
∴

12

5

≤x+y+z≤4                                         …（8分）
注：3x+3y+3z≤3x+4y+5z≤5x+5y+5z得到

12

5

≤x+y+z≤4可得（5分），若給出了等號(hào)成立條件可全分．
（2）當(dāng)m＞0時(shí)
由B（

9

5

m，

12

5

m），得tanA=

4

3

，∴cosA=

3

5

；             …（10分）
△ABC中，由余弦定理有：
25=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-

16

5

bc≥

1

5

（b+c）²；當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，所以b+c≤5

5

所以，三角形的周長(zhǎng)最大值為5+5

5

                                       …（14分）
當(dāng)m＜0時(shí)，∠BAC為鈍角，AB＜BC，AC＜BC，AB+BC+AC＜15＜5+5

5

綜上所述，△ABC周長(zhǎng)的最大值為5+5

5

．                   …（16分）