Question

一個圓錐和一個圓柱，下底面在同一平面上，它們有公共的內切球，記圓錐的體積為V₁，圓柱的體積為V₂，且V₁=kV₂，則k_min=

 

．

Answer 1

分析：設球半徑為r，根據(jù)圓柱的底面半徑與內切球半徑相等，高等于內切球直徑，我們易求出滿足條件的圓柱的體積，設圓錐底半徑為R=rcotα，則我們易求出圓錐的體積（含參數(shù)α），進而可以求出K的表達式，再利用函數(shù)值域的求法，我們易求出滿足條件k_min．

解答：解：設球半徑為r，圓柱的底面半徑也為r，高為2r，
則V₂=2πr³．
設圓錐底半徑為R=rcotα，高H=Rtan2α．
則V₁=

1

3

πR²H=

1

3

（πr³cos²αtan2α）
則V₁：V₂=（cos²αtan2α）：6．
∵cos²αtan2α=

2

tan2α-tan4α

則當tan²α=

1

2

，即tanα=

2

2

時，cos²αtan2α取最小值8，
此時k_min=

4

3

故答案為：

4

3

點評：本題考查的知識點是圓錐的體積，圓錐的體積，及圓柱與圓柱的內切球，其中設球半徑為r，進而給出圓柱的體積及圓錐的體積是解答本題的關鍵．