Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（

3

2

π+x）+

3

cosxsin（π+x）+sin（

π

2

+x）cosx
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及其相應(yīng)的x的集合．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡，得f（x）=

3

2

-sin（2x+

π

6

），再根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）由（1）的表達(dá)式，得當(dāng)sin（2x+

π

6

）=-1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值．根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解方程2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，（k∈Z），即可得到函數(shù)f（x）的最大值和相應(yīng)的x的集合．

解答：解：∵cos（

3

2

π+x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，sin（

π

2

+x）=cosx
∴f（x）=2sin²x-

3

sinx•cosx+cos²x
=sin²x-

3

2

sin2x+1=

1

2

（1-cos2x）-

3

2

sin2x+1
=

3

2

-（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）=

3

2

-sin（2x+

π

6

）
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）根據(jù)f（x）=

3

2

-sin（2x+

π

6

），
可得當(dāng)sin（2x+

π

6

）=-1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值為

5

2

令2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，（k∈Z），得x=-

π

3

+kπ，（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的最大值為

5

2

，相應(yīng)的x的集合為{x|x=-

π

3

+kπ，（k∈Z）}．

點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)式的化簡，求函數(shù)的周期與最值．著重考查了三角函數(shù)的周期公式、最值及其相應(yīng)的x取值集合等知識，屬于中檔題．