Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=An²+Bn（A，B是常數(shù)）是數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的什么條件？

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，分別證明必要性和充分性即可．

解答 證明：充分性：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=A+B；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2An+B-A，
顯然當(dāng)n=1時(shí)也滿足上式，
∴a_n-a_n-1=2A
∴{a_n}是等差數(shù)列．
必要性：∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\fraccqhf0o3{2}$n²+（a₁-$\frac1zviar6{2}$）n，
令A(yù)=$\fracpgzgd7t{2}$，B=a₁-$\fraciq5lbyv{2}$，則S_n=An²+Bn（A，B是常數(shù)）．
綜上，“S_n=An²+Bn（A，B是常數(shù)）”是“數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列”的充要條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的充要條件、通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．