Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為圓x²+y²=20上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l垂直x軸于點(diǎn)Q，點(diǎn)M滿足

QP

=

2

QM

（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程
（2）若直線l：y=x+m（m≠0）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求三角形OAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用代入法求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程
（2）y=x+m代入x²+2y²=20，利用弦長公式求出|AB|，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線l：y=x+m的距離，表示出三角形OAB面積，利用配方法求三角形OAB面積的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），P（a，b），則Q（a，0），
∵

QP

=

2

QM

，
∴（0，b）=

2

（a-x，-y），
∴a=x，b=-

2

y，
∵a²+b²=20，
∴x²+2y²=20；
（2）y=x+m代入x²+2y²=20，整理可得3x²+4mx+2m²-20=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

4

3

m，x₁x₂=

2m2-20

3

∴|AB|=

2

•

16 9 m2- 8m2-80 3

，
∵O到直線l：y=x+m的距離為

|m|

2

，
∴三角形OAB面積為

1

2

×

2

•

16 9 m2- 8m2-80 3

×

|m|

2

=

2

3

•

-m4+30m2

≤

2

3

×15=5

2

，
∴三角形OAB面積的最大值為5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．