如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點E，F(xiàn)分別在邊CD，CB上，點E與點C，點D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF將△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
（1）求證：BD⊥平面POA
（2）設(shè)AO∩BD=H，當(dāng)O為CH中點時，若點Q滿足
AQ
=
QP
，求直線OQ與平面PBD所成角的正弦值．

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（1）證明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）由（1）可知：AC⊥BD，
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2
3
．
∵O為CH的中點，∴PO=
3
．
如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
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則O（0，0，0），A(3
3
，0，0)，
B(
3
，2，0)，D(
3
，-2，0)，P(0，0，
3
)．
∴
PB
=(
3
，2，-
3
)，
BD
=(0，-4，0)．
由
AQ
=
QP
，得Q為AP的中點．
∴Q(
3
3
2
，0，
3
2
)．∴
OQ
=(
3
3
2
，0，
3
2
)．
設(shè)平面PBD的法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
PB
=0
n
•
BD
=0
得
3
x+2y-
3
z=0
-4y=0
，取x=1，得y=0，z=1．
∴
n
=(1，0，1)．
設(shè)直線OQ與平面PBD所成的角為θ．
則sinθ=|cos＜
OQ
，
n
＞|=
|
n
•
OQ
|
|
n
| |
OQ
|
=
|
3
3
2
+
3
2
|
(
3
3
2
)2+(
3
2
)2
=
2
5
5
．
因此直線OQ與平面PBD所成的角的正弦值為
2
5
5
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點，過A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求證：M為PC的中點；
（3）求四棱錐M-DEBC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點，過A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求證：M為PC的中點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•上海二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AC與BD交于點O，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=12°，PA=4．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若點E在線段BO上，且二面角E-PC-A的大小為60°，求線段OE的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AC與BD交于點O，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為4的菱形，∠BAD=12°，PA=4．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）若點E在線段BO上，且二面角E-PC-A的大小為60°，求線段OE的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年重慶市北碚區(qū)江北中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點，過A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求證：M為PC的中點．

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