Question

附加題必做題
  設(shè)n是給定的正整數(shù)，有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）同時(shí)滿足下列條件：
①a_i∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；    ②對(duì)任意的1≤k≤l≤n，都有|

2l

i=2k-1

ai|≤2．
（1）記A_n為滿足“對(duì)任意的1≤k≤n，都有a_2k-1+a_2k=0”的有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）的個(gè)數(shù)，求A_n；
（2）記B_n為滿足“存在1≤k≤n，使得a_2k-1+a_2k≠0”的有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）的個(gè)數(shù)，求B_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，對(duì)任意的1≤k≤n，都有a_2k-1+a_2k=0，則a_2k-1、a_2k必為1、-1或-1、1，有兩種情況，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析可得，若1≤k≤n，使得a_2k-1+a_2k≠0，則所以a_2k-1+a_2k=2或a_2k-1+a_2k=-2，進(jìn)而設(shè)所有這樣的k為k₁，k₂，…k_m（1≤m≤n），進(jìn)而分析可得a2kj-1+a2kj的值由a2k1-1+a2k1的值（2或-2）確定，又由其余的（n-m）對(duì)相鄰的數(shù)每對(duì)的和均為0，則可得B_n=2C_n¹×2^n-1+2C_n²×2^n-2+…+2C_nⁿ，計(jì)算可得答案．

解答：解（1）因?yàn)閷?duì)任意的1≤k≤n，都有a_2k-1+a_2k=0，則a_2k-1、a_2k必為1、-1或-1、1，有兩種情況，
有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）中有n組a_2k-1、a_2k
所以，An=

2×2×…×2

n個(gè)2相乘

=2n；    
（2）因?yàn)榇嬖?≤k≤n，使得a_2k-1+a_2k≠0，
所以a_2k-1+a_2k=2或a_2k-1+a_2k=-2，
設(shè)所有這樣的k為k₁，k₂，…k_m（1≤m≤n），
不妨設(shè)a2kj-1+a2kj=2(1≤j≤m)，則a2kj+1-1+a2kj+1=-2（否則|

2kj+1

i=2kj-1

ai|=4＞2）；
同理，若a2kj-1+a2kj=-2(1≤j≤m)，則a2kj+1-1+a2kj+1=2，
這說(shuō)明a2kj-1+a2kj的值由a2k1-1+a2k1的值（2或-2）確定，
又其余的（n-m）對(duì)相鄰的數(shù)每對(duì)的和均為0，
所以，B_n=2C_n¹×2^n-1+2C_n²×2^n-2+…+2C_nⁿ=2（2ⁿ+C_n¹×2^n-1+C_n²×2^n-2+…+C_nⁿ）-2×2ⁿ=2（1+2）ⁿ-2×2ⁿ=2（3ⁿ-2ⁿ）．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義的題型，關(guān)鍵是正確理解題意中新定義的定義，緊扣其定義分析、解題．