Question

研究室有甲、乙兩個課題小組，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，甲、乙兩小組完成課題研究各項任務(wù)的概率依次分別為，現(xiàn)假設(shè)每個課題研究都有兩項工作要完成，并且每項工作的完成互不影響，若在一次課題研究中，兩小組完成任務(wù)項數(shù)相等且都不少于一項，則稱該研究為“先進(jìn)和諧室”．
（Ⅰ）若，求該研究室在完成一次課題任務(wù)中榮獲“先進(jìn)和諧室”的概率；
（Ⅱ）設(shè)在完成6次課題任務(wù)中該室獲得“先進(jìn)和諧室”的次數(shù)為ξ，求Eξ≥2.5時，P₂的取值范圍．

Answer 1

（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）=
（Ⅱ）研究室在一次任務(wù)中榮獲“先進(jìn)和諧室”的概率=
而ξ～B（6，P），所以Eξ=6P，由Eξ≧2.5知
解得，而p₂≤1，所以
分析：（I）該研究室在完成一次課題任務(wù)中榮獲“先進(jìn)和諧室”有兩種情形，一種是兩小組各完成一項任務(wù)，一種是兩小組各完成兩項任務(wù)，分別求出其概率，相加即可求出所求；
（II）研究室在一次任務(wù)中榮獲“先進(jìn)和諧室”的概率然后根據(jù)Eξ=6P，Eξ≥2.5建立不等關(guān)系，解之即可求出P₂的取值范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機(jī)變量的期望，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．