Question

已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象為開口向下的拋物線，且對(duì)任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x）．若向量

a

=（m，-1），

b

=（m，-2），則滿足不等式f（

a

•

b

）＞f（-1）的m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,平面向量及應(yīng)用

分析：由已知中二次函數(shù)y=f（x）的圖象為開口向下的拋物線，且對(duì)任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．我們可以判斷函數(shù)的圖象是以x=1為對(duì)稱軸，開口方向朝下的拋物線，再由向量

a

=（m，-1），

b

=（m，-2），結(jié)合 二次函數(shù)的性質(zhì)和向量數(shù)量積運(yùn)算，我們可以得到一個(gè)關(guān)于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范圍．

解答： 解：∵對(duì)任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）．
故函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，
∵

a

=（m，-1），

b

=（m，-2），
∴

a•

b

=m²+2，
∴|m²+2-1|＜|-1-1|
解得-1＜m＜1
故答案為：（-1，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值不等式的解法，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和向量數(shù)量積運(yùn)算，將不等式f（

a

•

b

）＞f（-1）轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于m的不等式，是解答本題的關(guān)鍵．