Question

下列說法正確的是（　　）

• A．存在α∈(0，

  π

  2

  ）使sinα+cosα=

  1

  3

• B．y=tanx在R內(nèi)為增函數(shù)
• C．y=cos2x+sin（

  π

  2

  -x）是偶函數(shù)
• D．y=sin|2x+

  π

  6

  |最小正周期為π

Answer 1

分析：選項(xiàng)A，可得

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]，而

1

3

∉（1，

2

]，故不可能存在α∈(0，

π

2

）使sinα+cosα=

1

3

；選項(xiàng)B，y=tanx在R內(nèi)沒有單調(diào)性；選項(xiàng)C，由誘導(dǎo)公式化簡后可證原函數(shù)是偶函數(shù)；選項(xiàng)D，函數(shù)y=sin|2x+

π

6

|的圖象可由y=sin|2x|的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位得到，沒有周期性．

解答：解：選項(xiàng)A，sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），當(dāng)α∈（0，

π

2

）時(shí)，α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
故可得sin（α+

π

4

）∈（

2

2

，1]，所以

2

sin（α+

π

4

）∈（1，

2

]，而

1

3

∉（1，

2

]，
故不可能存在α∈(0，

π

2

）使sinα+cosα=

1

3

，故A錯誤；
選項(xiàng)B，y=tanx在（kπ-

π

2

，kπ+

π

2

），k∈Z內(nèi)單調(diào)遞增，但在R內(nèi)沒有單調(diào)性，故B錯誤；
選項(xiàng)C，記y=f（x）=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx，可得f（-x）=cos2（-x）+cos（-x）=f（x）
故可得原函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；
選項(xiàng)D，函數(shù)y=sin|2x+

π

6

|的圖象可由y=sin|2x|的圖象向左平移

π

12

個(gè)單位得到，
而函數(shù)y=sin|2x|為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，沒有周期性，故函數(shù)y=sin|2x+

π

6

|沒有周期性，故D錯誤．
故選C

點(diǎn)評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的知識，屬基礎(chǔ)題．