Question

（2007•廣州二模）如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

6

，D是棱CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件得到BC⊥平面ACC₁A₁．建立空間直角坐標(biāo)系，求出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，
（Ⅰ）求出向量A₁D，B₁C₁，AB₁的坐標(biāo)，只要證得其數(shù)量積為0即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）先求出兩個(gè)平面的法向量，再代入夾角計(jì)算公式即可求出結(jié)論．

解答：解：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BC⊥CC₁．
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁．                         …（2分）
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB、CC₁、CA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，0，0），B（1，0，0），A(0，0，

3

)，C1(0，

6

，0)，B1(1，

6

，0)，A1(0，

6

，

3

)，D(0，

6

2

，0)．                                                     …（4分）
（Ⅰ）

A1D

=(0，-

6

2

，-

3

)，

B1C1

=(-1，0，0)，

AB1

=(1，

6

，-

3

)，
∵

A1D

•

B1C1

=0，

A1D

•

AB1

=0，
∴

A1D

⊥

B1C1

，

A1D

⊥

AB1

，即A₁D⊥B₁C₁，A₁D⊥AB₁．
∵B₁C₁∩AB₁=B₁，∴A₁D⊥平面AB₁C₁．                             …（7分）
（Ⅱ）設(shè)n=（x，y，z）是平面ABB₁的法向量，由

AB1 • n =0 BB 1 • n =0

得

x+ 6 y- 3 z=0 6 y=0.

取z=1，則n=(

3

，0，1)是平面ABB₁的一個(gè)法向量．                   …（10分）
又

A1D

=(0，-

6

2

，-

3

)是平面AB₁C₁的一個(gè)法向量，…（12分）
且＜

AD1

，n＞與二面角B-AB₁-C₁的大小相等．
由cos＜

AD 1

，

n

＞=

AD 1 • n

| AD 1 |•| n |

=-

6

6

．
故二面角B-AB₁-C₁的余弦值為-

6

6

．                               …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間中線面關(guān)系，二面角及其平面角、坐標(biāo)方法的運(yùn)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．