Question

（2009•上海）我國(guó)計(jì)劃發(fā)射火星探測(cè)器，該探測(cè)器的運(yùn)行軌道是以火星（其半徑R=34百公里）的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．如圖，已知探測(cè)器的近火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最近的點(diǎn)）A到火星表面的距離為8百公里，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）B到火星表面的距離為800百公里．假定探測(cè)器由近火星點(diǎn)A第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心O的距離為

ab

百公里時(shí)進(jìn)行變軌，其中a、b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)，求此時(shí)探測(cè)器與火星表面的距離（精確到1百公里）．

Answer 1

分析：利用待定系數(shù)法，先求出軌道方程，再利用探測(cè)器由近火星點(diǎn)A第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心O的距離為

ab

百公里時(shí)進(jìn)行變軌，可求探測(cè)器位置的坐標(biāo)，從而可求探測(cè)器在變軌時(shí)與火星表面的距離．

解答：解：設(shè)所求軌道方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1  ( a＞b＞0 )，c=

a2-b2

．
∵a+c=800+34，a-c=8+34，
∴a=438，c=396．…（4分）
于是 b²=a²-c²=35028．
∴所求軌道方程為 

x2

191844

+

y2

35028

=1．…（8分）
設(shè)變軌時(shí)，探測(cè)器位于P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=ab=81975.1，
又

x 2 0

191844

+

y 2 0

35028

=1，
解得 x₀=239.7，y₀=156.7．…（11分）
∴探測(cè)器在變軌時(shí)與火星表面的距離為

(x0-c)2+ y 2 0

-R≈187.3．…（14分）
答：探測(cè)器在變軌時(shí)與火星表面的距離約為187百公里．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查橢圓方程的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是求出橢圓方程，利用探測(cè)器由近火星點(diǎn)A第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心O的距離為

ab

百公里時(shí)進(jìn)行變軌，求出探測(cè)器位置的坐標(biāo)