設(shè)函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；

（Ⅱ）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，證明 :（是的導(dǎo)函數(shù)）；

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】本試題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，以及二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的問題，和運(yùn)用函數(shù)的思想解決不等式的恒成立問題的綜合運(yùn)用。

(1)中，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)取決于冪指數(shù)為奇數(shù)還是偶數(shù)來得到

（2）中利用均值不等式的思想，表示出

和放縮法的思想得到

（Ⅰ）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)，這項(xiàng)是

（Ⅱ）證法一：因

證法二：

因

而

故只需對(duì)和進(jìn)行比較。

令，有  由，得

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時(shí)，，

從而有，亦即故有恒成立。

所以，原不等式成立。

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷（海南） 題型：解答題

（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù).
（Ⅰ）若當(dāng)時(shí)取得極值，求a的值，并討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于.
請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年北京高考模擬系列試卷理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)函數(shù)

（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）令＜≤，其圖像上任意一點(diǎn)P處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（III）當(dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年寧夏高三第五次月考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；

（2）令，（0≤3），其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省東北育才學(xué)校高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

(本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；

（Ⅱ）若函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052012504775001523/SYS201205201251581250765732_ST.files/image004.png">，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

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