Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)條件：（1）對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x．如果關(guān)于x的方程f（x）=k（x-1）恰有三個(gè)不同的解，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A、

  8

  7

  ≤k＜

  4

  3

• B、

  8

  7

  ≤k＜

  4

  3

  或-

  1

  3

  ＜k≤-

  1

  7

• C、

  4

  3

  ≤k＜2
• D、-

  1

  7

  ＜k≤-

  1

  15

  或

  4

  3

  ≤k＜2

Answer 1

分析：根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因?yàn)閒（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可．

解答：解：因?yàn)閷?duì)任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x
所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．
由題意得f（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過(guò)定點(diǎn)（1，0）的直線，
如圖所示紅色的直線與線段AB相交即可（可以與B點(diǎn)重合但不能與A點(diǎn)重合）

所以可得k的范圍為

4

3

≤k＜2．
同理作出（

1

16

，

1

4

]的圖象可得k的范圍為-

1

7

＜k≤-

1

15

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的必備的解題工具．