Question

12．AB是平面α的一條斜線(xiàn)段，B為斜足，AA′⊥α，A′是垂足，BC?α，若∠ABC=60°，∠A′BC=45°，則直線(xiàn)AB與平面α所成的角是45°．

Answer 1

分析 過(guò)A′作A′D⊥BC于D，連接AD，則可證BC⊥AD，設(shè)BD=a，則利用特殊角的性質(zhì)得出AB=2a，A′B=$\sqrt{2}a$．從而求得cos∠ABA′．

解答 解：過(guò)A′作A′D⊥BC于D，連接AD．
∵AA′⊥α，BC?α，
∴AA′⊥BC，又A′D⊥BC，AA′⊆平面AA′D，A′D?平面AA′D，
∴BC⊥平面AA′D，∵AD?平面AA′D，
∴BC⊥AD．
設(shè)BD=a，∵∠ABC=60°，∠A′BCD=45°，
∴A′B=$\sqrt{2}$BD=$\sqrt{2}a$，AB=2BD=2a．
∴cos∠ABA′=$\frac{A′B}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠ABA′=45°．
∵AA′⊥α，∴∠ABA′為AB與平面α所成的角．
故答案為：45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面角的計(jì)算，做出圖形，利用特殊角的性質(zhì)得出斜線(xiàn)段AB與射影A′B的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．