Question

1．已知四棱錐P-ABCD的三視圖和直觀圖如圖：

（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由三視圖可知，四棱錐中，PC⊥底面ABCD底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PC=2，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（2）連接AC，推導(dǎo)出BD⊥平面PAC，由此能求出當(dāng)E在PC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BD⊥AE恒成立．

解答 解：（1）由三視圖可知，四棱錐中，PC⊥底面ABCD，
底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PC=2，
∴四棱錐P-ABCD的體積V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$•PC•S_底=$\frac{1}{3}$×2×1=$\frac{2}{3}$．
（2）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE成立．
證明如下：連接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
當(dāng)E在PC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE?面PAC，
∴BD⊥AE恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，考查線線垂直的判斷與證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．