Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F(xiàn)分別是B₁A，CC₁，BC的中點．
（1）求證：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的正切值．

Answer 1

分析：（1）由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D，E，F(xiàn)分別是B₁A，CC₁，BC的中點，結合等腰三角形性質(zhì)及直三棱柱的幾何特征，我們易判斷出AF⊥B₁F，B₁F⊥EF，進而根據(jù)線面垂直的判定定理即可得到B₁F⊥平面AEF；
（2）B₁M⊥AE于M，連接FM，由三垂線定理我們易得∠B₁MF即為二面角B₁-AE-F的平面角，解三角形B₁MF，即可求出二面角B₁-AE-F的正切值．

解答：證明：（1）等腰直角三角形△ABC中F為斜邊的中點，
∴AF⊥BC
又∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面C₁B，
∴AF⊥B₁F
設AB=AA₁=1，
∴B1F=

6

2

，EF=

3

2

，B1E=

3

2

，
∴B₁F²+EF²=B₁E²，
∴B₁F⊥EF
又AF∩EF=F，
∴B₁F⊥面AEF
解：（2）∵B₁F⊥面AEF，
作B₁M⊥AE于M，連接FM，
∴∠B₁MF為所求
又∵FM=

3

10

，
所求二面的正切值為

5

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定及二面角的平面角的求法，其中在求二面角時，找出二面角的平面角是解答本題的關鍵．