Question

給出下列四個(gè)命題：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，則x＞1；
②已知|

a

| =|

b

| =2，

a

與

b

的夾角為

π

3

，則

b

在

a

上的投影為1；
③若P=a+

1

a

+2(a＞0)，q=(

1

2

)x2-2(x∈R)，則p＞q；
④已知f（x）=asinx-bcosx在x=

π

6

處取得最大值2，則a=1，b=

3

；
其中正確命題的序號(hào)是

①②

．（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：①②③④依次分析命題：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，|x-lgx|=x+|lgx|；當(dāng)x＞1時(shí)，|x-lgx|＜x+|lgx|，故①成立；直接根據(jù)向量投影的定義得到②成立；分別計(jì)算p和q的范圍，可得③不成立；
f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

6

處取得最大值2，可以利用和角公式對(duì)其變形，得到④不成立，綜合可得答案．

解答：解：對(duì)于①：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，|x-lgx|=x+|lgx|；
當(dāng)x=1時(shí)，|x-lgx|=x+|lgx|；
當(dāng)x＞1時(shí)，|x-lgx|＜x+|lgx|．
∴若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，則x＞1，即①成立；
對(duì)于②：∵

b

在

a

上的投影為|

b

|cos＜

a

，

b

＞=2×cos

π

3

=2×

1

2

=1，故②成立；
對(duì)于③∵p=a+

1

a

+2≥2

a• 1 a

+2=4，q=(

1

2

)x2-2≤(

1

2

)-2=4，
∴p≥q，即③不成立；
對(duì)于④∵f（x）=asinx-bcosx=

a2+b2

sin（x-φ），且tanφ=

b

a

．
又f（x）=asinx-bcosx在x=

π

6

處取得最大值2；
∴

π

6

-φ=2kπ+

π

2

⇒φ=-2kπ-

π

3

⇒tanφ=-

3

，故a，b異號(hào)，即④不成立．
即成立的只有①②．
故答案為；  ①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，解題時(shí)要注意和角公式的應(yīng)用、向量的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式的應(yīng)用等．是一道易錯(cuò)題．