已知定義在[1,4]上的函數(shù)f(x)=x2-2bx+
b4
(b≥1),
( I)求f(x)的最小值g(b);
( II)求g(b)的最大值M.
分析:(I)由已知中函數(shù)的解析式,可得f(x)=(x-b)2-b2+
b
4
的對稱軸為直線x=b(b≥1),分當1≤b≤4時,和b>4時,兩種情況,分析函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的單調性,可得f(x)的最小值g(b);
( II)結合(I)中所得g(b)的解析式,根據(jù)分段函數(shù)分段處理的原則,分別求出各段上函數(shù)的最大值,比照后可得g(b)的最大值M.
解答:解:f(x)=(x-b)2-b2+
b
4
的對稱軸為直線x=b(b≥1),
( I)①當1≤b≤4時,g(b)=f(b)=-b2+
b
4
;
②當b>4時,g(b)=f(4)=16-
31
4
b
,
綜上所述,f(x)的最小值g(b)=
-b2+
b
4
(1≤b≤4)
16-
31
4
b(b>4)

( II)①當1≤b≤4時,g(b)=-b2+
b
4
=-(b-
1
8
2+
1
64
,
∴當b=1時,M=g(1)=-
3
4

②當b>4時,g(b)=16-
31
4
b
是減函數(shù),∴g(b)<16-
31
4
×4=-15<-
3
4
,
綜上所述,g(b)的最大值M=-
3
4
點評:本題考查的知識點是二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)單調性的性質,其中熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質,是解答本題的關鍵.
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