Question

【題目】記

（I）若對(duì)任意的x0恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；

（II）若直線l:與的圖像相切于點(diǎn)Q(m，n) ；

（i）試用m表示a與k；

（ii）若對(duì)給定的k，總存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a1，a2，a3，使得直線l與曲線，，同時(shí)相切，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

Answer 1

【答案】（I）（II）（i）.（ii）見(jiàn)解析

【解析】

（I）利用說(shuō)明是的最大值，也是極大值，求得a，再證明必要性；

（II）（i）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切點(diǎn)既在曲線上又在直線上，列出方程組，解得a，k.

（ii）根據(jù)題意求得方程：有三個(gè)不同的解時(shí)的k的范圍，再去證明與a是一一對(duì)應(yīng)的.

（I）∵

∵，又∵恒成立，∴是的最大值

∴，∴；

反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，∴在（0，1）上遞增，在（1，上遞減，，∴恒成立.

∴

（II）（i）∵，由切點(diǎn)，則有：

，

把①代入②可得：，

代入①式得：（**），

（ii）根據(jù)題意方程（**）有三個(gè)不同的解，

令

∴

=

=

由，解得兩根分別為與

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

∴的極小值為；的極大值為

又∵時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，方程（**）有三個(gè)不同的根，

下面說(shuō)明三個(gè)不同的對(duì)應(yīng)的也是不同的：

設(shè)方程（**）的三個(gè)不同的根分別為：，且

則有：，，，顯然

只需說(shuō)明即可，

又由可得：

即，假設(shè)，

則有，即

即

即，令，即

設(shè)

∴

∴在上是減函數(shù)，即，與矛盾

∴假設(shè)不真，即

∴當(dāng)，存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)使得直線與曲線，，同時(shí)相切．