Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）2012年中秋、國(guó)慶長(zhǎng)假期間，由于國(guó)家實(shí)行6座及以下小型車(chē)輛高速公路免費(fèi)政策，導(dǎo)致在長(zhǎng)假期間高速公路出現(xiàn)擁堵現(xiàn)象．長(zhǎng)假過(guò)后，據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，某高速收費(fèi)路口從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn)，車(chē)輛通過(guò)該收費(fèi)站的用時(shí)y（分鐘）與車(chē)輛到達(dá)該收費(fèi)站的時(shí)刻t之間的函數(shù)關(guān)系式可近似地用以下函數(shù)給出：
y=f(t)=

- 1 8 t3- 3 4 t2+36t- 629 4 ，6≤t＜9 t 6 + 288 3t ，9≤t≤10 -3t2+66t-345，10＜t≤12

求從上午6點(diǎn)到中午12點(diǎn)，通過(guò)該收費(fèi)站用時(shí)最多的時(shí)刻．

Answer 1

分析：由已知中的分段函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，可以判斷出第一段上函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出第一段上的最值；利用基本不等式，可以求出第二段函數(shù)的最值，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以判斷第三段函數(shù)的最值，綜合可得答案．

解答：解：當(dāng)t∈[6，9）時(shí)，f(t)=-

1

8

t3-

3

4

t2+36t-

629

4

得：f′(t)=-

3

8

t2-

3

2

t+36=-

3

8

(t+12)(t-8)
故：f（t）在（6，8）單調(diào)遞增，在（8，9）單調(diào)遞減，
因此，f（t）_max=f(8)=

75

4

；…．（4分）
當(dāng)t∈[9，10]時(shí)，f(t)=

t

6

+

288

3t

≥2

t 6 × 288 3t

=8．
當(dāng)且僅當(dāng)

t

6

=

288

3t

，
即：t=24∉[9，10]．因此f（t）在[9，10]單調(diào)遞減，
所以，f(t)max=f(9)=

73

6

．…（8分）
當(dāng)t∈（10，12]時(shí)，f（t）=-3t²+66t-345，對(duì)稱軸為t=11，
故f（t）_max=f（11）=18．    …（12分）
綜上所述：f(t)max=

75 4 ，6≤t＜9 73 6 ，9≤t≤10 18，10＜t≤12

．
故：通過(guò)收費(fèi)站用時(shí)最多的時(shí)刻為上午8點(diǎn)．…..（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值，分段函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，基本不等式求最值，難度較大．