Question

已知A，B是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左，右頂點(diǎn)，B（2，0），過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線交于其于點(diǎn)M，N，交直線x=4于點(diǎn)P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若記△AMB，△ANB的面積分別為S₁，S₂求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）令P（4，y₀），F(xiàn)（c，0），a=2，A（-2，0），B（2，0）．
∵2k_PF=k_PA+k_PB，∴，
∴c=1，b²=3，
∴，
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
得
（3m²+4）y²=6my-9=0y²+6my-9=0，
，①
，②（9分）
①²/②得，令t=，（11分）
則|t|+||=|t+|=，
∴，即．（13分）
∵，
∴．（15分）
分析：（Ⅰ）令P（4，y₀），F(xiàn)（c，0），a=2，A（-2，0），B（2，0）．由2k_PF=k_PA+k_PB，知，由此能得到橢圓C的方程．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），得（3m²+4）y²=6my-9=0y²+6my-9=0，再由韋達(dá)定理和三角形的面積公式進(jìn)行求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積比值的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．