Question

（2013•南京二模）已知數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，且對任意n∈N^*，都有

a

2 n+1

=anan+2+k（k為常數(shù)）．
（1）若k=(a2-a1)2，求證：a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列；
（2）若k=0，且a₂，a₄，a₅成等差數(shù)列，求

a2

a1

的值；
（3）已知a₁=a，a₂=b（a，b為常數(shù)），是否存在常數(shù)λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把k=(a2-a1)2，代入

a

2 n+1

=anan+2+k，令n=1化簡即可證明；
（2）當k=0時，

a

2 n+1

=anan+2，由于數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，設公比為q＞0，根據(jù)a₂，a₄，a₅成等差數(shù)列，可得a₂+a₅=2a₄，即a1q+a1q4=2a1q3，解出即可；
（3）存在常數(shù)λ=

a2+b2-k

ab

，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．由

a

2 n+1

=anan+2+k，及

a

2 n

=an-1an+1+k(n≥2，n∈N*)，可得

a

2 n+1

+an-1an+1=anan+2+

a

2 n

，由于a_n＞0，兩邊同除以a_na_n+1，得到

an+1+an-1

an

=

an+an+2

an+1

，進而

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

=…=

a1+a3

a2

，即當n∈N^*時，都有an+an+2=

a1+a3

a2

an+1，再利用已知求出a₁，a₂，a₃即可證明．

解答：（1）證明：∵k=(a2-a1)2，
∴

a

2 n+1

=anan+2+(a2-a1)2，
令n=1，則

a

2 2

=a1a3+(a2-a1)2，
∵a₁＞0，∴2a₂=a₁+a₃，
故a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列；
（2）當k=0時，

a

2 n+1

=anan+2，
∵數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，設公比為q＞0，
∵a₂，a₄，a₅成等差數(shù)列，
∴a₂+a₅=2a₄，∴a1q+a1q4=2a1q3，
∵a₁＞0，q＞0，
∴q³-2q²+1=0，
化為（q-1）（q²-q-1）=0，解得q=1或q=

1+ 5

2

．
∴

a2

a1

═q=1或

1+ 5

2

．
（3）存在常數(shù)λ=

a2+b2-k

ab

，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．
證明如下：∵

a

2 n+1

=anan+2+k，∴

a

2 n

=an-1an+1+k(n≥2，n∈N*)，
∴

a

2 n+1

-

a

2 n

=anan+2-an-1an+1，即

a

2 n+1

+an-1an+1=anan+2+

a

2 n

，
由于a_n＞0，兩邊同除以a_na_n+1，得到

an+1+an-1

an

=

an+an+2

an+1

，
∴

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

=…=

a1+a3

a2

，
即當n∈N^*時，都有an+an+2=

a1+a3

a2

an+1，
∵a₁=a，a₂=b，

a

2 n+1

=anan+2+k，
∴a₃=

b2-k

a

．∴

a1+a3

a2

=

a+ b2-k a

b

=

a2+b2-k

ab

．
∴存在常數(shù)λ=

a2+b2-k

ab

，使得a_n+a_n+2=λa_n+1對任意n∈N^*都成立．

點評：本題綜合考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義及通項公式，靈活的變形推理能力和計算能力．