Question

已知函數f（x）=ax²+x+lnx．
（Ⅰ）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1．f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出a=0的函數f（x）的導數，求出切線的斜率和切點坐標，再由點斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出函數的導數，求出f（x）的定義域，討論①當a＞0時，②當a＜0時，通過解方程求出兩根，討論導數大于0，小于0，求出函數的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=x+lnx，
∴f′（x）=1+

1

x

，∴k=f′（1）=1+1=2．
又∵f（1）=1，∴切點的坐標是（1，1），
∴切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1．
（Ⅱ）∵f（x）=ax²+x+lnx．
∴f（x）的定義域是（0，+∞），且f′（x）=2ax+1+

1

x

=

2ax2+x+1

x

．
①當a＞0時，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在x＞0上是增函數； 
②當a＜0時，由f′（x）=0，即2ax²+x+1=0，得x=

-1± 1-8a

4a

．
∵x₁=

-1- 1-8a

4a

＞0，x₂=

-1+ 1-8a

4a

＜0，
∴當x∈（0，

-1- 1-8a

4a

）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（

-1- 1-8a

4a

，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．