Question

已知奇函數(shù)f（x）的定義域是R，且f（x）=f（1-x），當(dāng)0≤x≤

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時(shí)，f（x）=x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的解析式；
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得：f（-x）=-f（x），結(jié)合f（x）=f（1-x），我們易得函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）由當(dāng)0≤x≤

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時(shí)，f（x）=x-x²．根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，及f（x）=f（1-x），及（1）中的結(jié)論，即可求出求f（x）在區(qū)間[1，2]上的解析式；
（3）由函數(shù)是以2為周期的函數(shù)，故只需要求出一個(gè)周期內(nèi)的值域即可，由（2）知，利用二次函數(shù)和分段函數(shù)求值域的方法即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）f（x+2）=f（1-（x+2））=f（-x-1）=-f（x+1）=-f（1-（x+1））=-f（-x）=f（x），
所以f（x）是周期為2的函數(shù)．
（2）∵當(dāng)x∈[

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，1]時(shí)，f（x）=f（1-x）=（1-x）-（1-x）²=x-x²，
∴x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x-x²
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=f（x-2）=-f（2-x）=（2-x）²-（2-x）=x²-3x+2．
∴當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=x²-3x+2．
（3）由函數(shù)是以2為周期的函數(shù)，故只需要求出一個(gè)周期內(nèi)的值域即可，由（2）知

f(x)= x-x2   (0≤x≤1) x+x2   (-1≤x≤0)

，
故在[-1，1]上函數(shù)的值域是[-

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，

1

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]，
故值域?yàn)?span id="4qk4yic" class="MathJye">[-

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，

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]．

點(diǎn)評(píng)：本題解析的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的解析式，若已知函數(shù)的奇偶性，及函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的解析式，求對(duì)稱區(qū)間[-b，-a]上的解析式，一般步驟為：取區(qū)間上任意一個(gè)數(shù)，即x∈[-b，-a]，則-x∈[a，b]，由區(qū)間[a，b]上的解析式，寫出f（-x）的表達(dá)式，根據(jù)奇函數(shù)f（-x）=-f（x）（偶函數(shù)f（-x）=f（x））給出區(qū)間[-b，-a]上函數(shù)的解析式，屬中檔題．