已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線的傾斜角為
π
4
，求a；
（Ⅱ）設(shè)f（x）的導函數(shù)是f′（x），在（Ⅰ）的條件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，求a的取值范圍．
（Ⅰ）∵f'（x）=-3x2+2ax（1分），
由已知f′(x)=tan
π
4
=1，即-3+2a=1（2分），
∴a=2（3分）；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-x3+2x2-4（4分），
f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-
4
3
)（5分），
x∈[-1，1]時，如下表：
（7分）
可見，n∈[-1，1]時，f′（x）最小值為f′（-1）=-7，
m∈[-1，1]時，f（m）最小值為f（0）=-4，
∴f（m）+f′（n）的最小值為-11（10分）；

（Ⅲ）∵f′(x)=-3x(x-
2a
3
)，
（1）若a≤0，當x＞0時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單減，
又由f（0）=-4，則x＞0時f（x）＜-4，
∴當x≤0時，不存在x0＞0使f（x0）＞0（11分）；
（2）若a＞0時，
當0＜x＜
2a
3
時，f′(x)＞0．當x＞
2a
3
時，f′(x)＜0，
∴f（x）在(0，
2a
3
]上單增，在[
2a
3
，+∞)單減；
∴x∈（0，+∞）時，f(x)max=f(
2a
3
)=
4a3
27
-4（12分），
由已知，必須
4a3
27
-4＞0∴a3＞27，
∴a＞3，
即a＞3時，存在x0∈（0，+∞）使f（x0）＞0．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a（a，b∈R），且其導函數(shù)f′（x）的圖象過原點．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

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已知曲線y=3x2+2x在點（1，5）處的切線與直線2ax-y-6=0平行，則a=______．

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已知函數(shù)f（x）=x-1+
a
她x
（a∈R，她為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）當a=1的值時，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=4x3-3x2sinθ+
1
32
，其中x∈R，θ∈（0，π）．
（Ⅰ）若f′（x）的最小值為-
3
4
，試判斷函數(shù)f（x）的零點個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的極小值大于零，求θ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)y=4x-x4，在[-1，2]上的最大、最小值分別為（　　）
A．、f（1），f（-1）B．f（1），f（2）C．f（-1），f（2）D．f（2），f（-1）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若函數(shù)f（x）=3x-x3在區(qū)間（a-1，a）上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=（x2-ax-a）ex．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：（x-1）f（x）≥0．

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