Question

20．設(shè)f（x）=12sin（2x+φ），（φ是常數(shù)）．
（1）求證：當(dāng)φ=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）是偶函數(shù)；
（2）求使f（x）為偶函數(shù)的所有φ值的集合．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)φ=$\frac{π}{2}$時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的奇偶性的定義，判斷f（x）是偶函數(shù)；
（2）利用偶函數(shù)的定義，化簡(jiǎn)方程，通過(guò)求解三角方程求解即可．

解答 （1）證明：當(dāng)φ=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=12sin（2x+$\frac{π}{2}$）=12cos2x，f（-x）=f（x），f（x）是偶函數(shù)；
（2）解：由題意：f（-x）=f（x），
可得12sin（-2x+φ）=12sin（2x+φ）對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，
-2x+φ=2x+φ+2kπ，或-2x+φ=π-（2x+φ）+2kπ（ k∈Z）對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，
所以φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
f（x）為偶函數(shù)的φ值的集合是{φ|φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，三角方程的解法，考查計(jì)算能力．