Question

（09年西城區(qū)抽樣文）（14分）

給定拋物線，F是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）設(shè)l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)，求直線l的方程.

Answer 1

解析：方法一：（Ⅰ）解：由題意，得，直線l的方程為.

由, 得,

設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為,  AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為,

則,

故點(diǎn)                -----------3分

所以,

故圓心為, 直徑,

所以以AB為直徑的圓的方程為；     -----------6分

（Ⅱ）解：因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090513/20090513085244013.gif' width=87>, 三點(diǎn)A, F, B共線且點(diǎn)A, B在點(diǎn)F兩側(cè),

      所以,

設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為, 則,

      所以                     1             

      因?yàn)辄c(diǎn)A, B在拋物線C上,

      所以,                    2     ---------10分

      由12，解得

      所以,      -------------13分

      故直線l的方程為或.-----------14分

   方法二：（Ⅰ）解：由題意，得，直線l的方程為.

由, 得,

設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為,  AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為,

因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090513/20090513085244022.gif' width=128>所以,         

所以, 故圓心為,      --------------3分

由拋物線定義，得,

所以(其中p=2).

所以以AB為直徑的圓的方程為；   ---------------6分

（Ⅱ）解：因?yàn)?IMG height=20 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090513/20090513085244013.gif' width=87>, 三點(diǎn)A, F, B共線且點(diǎn)A, B在點(diǎn)F兩側(cè),

      所以,

設(shè)A, B兩點(diǎn)坐標(biāo)為, 則,

      所以                              1 -----------------9分 

      設(shè)直線AB的方程為或(不符合題意，舍去).

      由，消去x得 ，

      因?yàn)橹本�l與C相交于A, B兩點(diǎn)，所以,

則, ,        2

      由12，得方程組，解得 或 ，---13分

      故直線l的方程為或.-------------14分