Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D，E分別為BB₁、AC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）DE⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）設(shè)AA₁=AB，P是BB₁上一動(dòng)點(diǎn)，試求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AC的中點(diǎn)F，可得DE∥FB．由題意得BF⊥AC．由于ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，所以BF⊥CC₁，進(jìn)而可得BF⊥面AC C₁A₁，從而可證明DE⊥面AC C₁A₁．
（II）將平面AB B₁A₁延B B₁展開，使之與面BC C₁B₁共面，連接AC₁則：AP+PC₁的最小值為AC₁．
解答：證明：（I）取AC的中點(diǎn)F，易證DEFB為矩形，所以DE∥FB．
因?yàn)锳B=BC且F為中點(diǎn)，
所以BF⊥AC．
因?yàn)锳BC-A₁B₁C₁是直棱柱，
所以CC₁⊥面ABC，所以BF⊥CC₁
又因?yàn)锳C∩CC₁=C，
所以BF⊥面AC C₁A₁，
所以DE⊥面AC C₁A₁．
（II）將平面AB B₁A₁延B B₁展開，使之與面BC C₁B₁共面，
如圖所示，則：AP+PC₁的最小值為AC₁的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直的方法是證明已知直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可，而線線垂直與線面垂直的證明是相輔相成的不能分割，對(duì)于求幾何體上兩點(diǎn)距離的最小值的問(wèn)題解決方法一般是展開幾何體．