【題目】對給定自然數(shù)n≥2,求滿足下列條件的最大的N:無論怎樣將填人一個n×n的方格表,總存在同一行或同一列的兩個數(shù),它們的差不小于N。
【答案】
【解析】
首先構(gòu)造具體的例子證明:
.
1 當(dāng)n為偶數(shù)時,設(shè)n=2k.如圖,將方格表等分為A、B、C、D四個k×k的區(qū)域,按如下方式填數(shù)
區(qū)域A中的填法為
1 2 ... k
k+1 k+2 ... 2k
... ... ... ...
k(k-1)+1 k(k-1)+2 ...
區(qū)域B中的填法為將區(qū)域A中的每個數(shù)均加上,類似地填區(qū)域C和D,所加數(shù)分別為2、3.
2 當(dāng)n為奇數(shù)時,設(shè)n=2k+1.如圖,方格表的中間一行和中間一列將其余部分劃成了A、B、C、D四個k×k的區(qū)域,按如下方式填數(shù).
區(qū)域A的填法與n為偶數(shù)時相同,區(qū)域B、C、D的填法分別為將區(qū)域A中的數(shù)加上
;
中間一行的數(shù)從左至右依次為,
;
中間一列的數(shù)從上至下依次為
.
容易驗證,對以上的填法,方格表中同一行或同一列的任兩個數(shù)之差均不大于:.
其次,對任意一種填法,設(shè)占據(jù)了x行y列,即這個數(shù)均在這x行y列的交叉處.于是,([x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)).
則
.①
設(shè)占據(jù)了z行w列.類似有
. ②
由式①、②知.
因此,存在中的一個數(shù)(設(shè)為u)與
.中的一個數(shù)(設(shè)為u)在同一行或同一列,且有
(注意到,中必有一個為整數(shù)).
可見,N滿足要求.
綜上,N的最大值為.
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【題目】第七屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在中國武漢舉行,中國隊以133金64銀42銅位居金牌榜和獎牌榜的首位.運動會期間有甲、乙等五名志愿者被分配到射擊、田徑、籃球、游泳四個運動場地提供服務(wù),要求每個人都要被派出去提供服務(wù),且每個場地都要有志愿者服務(wù),則甲和乙恰好在同一組的概率是( )
A.B.C.D.
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【題目】若采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標(biāo)的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機數(shù),指定0,1,2,3表示沒有擊中目標(biāo),4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),以4個隨機數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機數(shù):
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________.
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【題目】(1)已知扇形的周長為8,面積是4,求扇形的圓心角.
(2)已知扇形的周長為40,當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時,才使扇形的面積最大?
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【題目】隨著“中華好詩詞”節(jié)目的播出,掀起了全民誦讀傳統(tǒng)詩詞經(jīng)典的熱潮.某社團為調(diào)查大學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好,從甲、乙兩所大學(xué)各隨機抽取了40名學(xué)生,記錄他們每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時間,并整理得到如下頻率分布直方圖:
根據(jù)學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”的時間,可以將學(xué)生對于“中華詩詞”的喜好程度分為三個等級 :
(Ⅰ)從甲大學(xué)中隨機選出一名學(xué)生,試估計其“愛好”中華詩詞的概率;
(Ⅱ)從兩組“癡迷”的同學(xué)中隨機選出2人,記為選出的兩人中甲大學(xué)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)試判斷選出的這兩組學(xué)生每天學(xué)習(xí)“中華詩詞”時間的平均值與的大小,及方差與的大小.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上無零點,求的取值范圍.
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【題目】如圖,已知四邊形是邊長為2的菱形,且,,,,點是線段上的一點.為線段的中點.
(1)若⊥于且,證明:平面;
(2)若,,求二面角的余弦值.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面ABCD平面PAD,,,,,E是PD的中點.
證明:;
設(shè),點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為,求二面角的余弦值.
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