Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點(diǎn)，以線段F₁F₂為斜邊作等腰直角三角形F₁MF₂，如果線段MF₁的中點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A、

  6

  +

  2

• B、

  6

  -

  2

• C、

  10 + 2

  2

• D、

  10 - 2

  2

Answer 1

分析：記雙曲線的焦距為2C、依題意知點(diǎn)M在y軸上，不妨設(shè)F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M在y軸正半軸上，則可表示出F₁和M的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出線段MF₁的中點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，化簡整理即可求得e．

解答：解：記雙曲線的焦距為2C、依題意知點(diǎn)M在y軸上，
不妨設(shè)F₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M在y軸正半軸上，則有F₁（-c，0），M（0，c），
∴線段MF₁的中點(diǎn)坐標(biāo)是（-

c

2

，

c

2

）．
又∵線段MF₁的中點(diǎn)在雙曲線上，
∴

(- c 2 )2

a2

-

( c 2 )2

b2

=1，即

c2

a2

-

c2

b2

=4，

c2

a2

-

c2

c2-a2

=4，（e²）²-6e²+4=0，e²=3±

5

．又e²＞1，
∴e²=3

5

∵（

10 + 2

2

）²=3+

5

，
∴e=

10 + 2

2

．
故選C

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與雙曲線的關(guān)系以及求離心率的問題．考查了學(xué)生的綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．