Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N₊．
（1）求a_n．
（2）求數(shù)列{S_n}的通項公式，并求出n為何值時，S_n取得最小值？并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項與求和的關(guān)系：當(dāng)n=1時，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，通過構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，即可得到所求；
（2）將（1）的結(jié)論代入條件，可得S_n=n+75×（$\frac{5}{6}$）^n-1-90．設(shè)S_k為最小值，則$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{k-1}≥{S}_{k}}\\{{S}_{k+1}≥{S}_{k}}\end{array}\right.$，運(yùn)用通項公式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式計算即可得到所求k的值．

解答 解：（1）∵S_n=n-5a_n-85，∴當(dāng)n=1時，S₁=1-5a₁-85，
即a₁=1-5a₁-85，解得a₁=-14；
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（n-5a_n-85）-[（n-1）-5a_n-1-85]=-5a_n+5a_n-1+1，
整理得6a_n=5a_n-1+1，∴6（a_n-1）=5（a_n-1-1），
∴$\frac{an-1}{an-1-1}$=$\frac{5}{6}$．又a₁-1=-15，
∴數(shù)列{a_n-1}是以-15為首項，$\frac{5}{6}$為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=-15×（$\frac{5}{6}$）^n-1+1；
（2）由（1）知，a_n=-15×（$\frac{5}{6}$）^n-1+1，
代入S_n=n-5a_n-85得，S_n=n-5[-15×（$\frac{5}{6}$）^n-1+1]-85
=n+75×（$\frac{5}{6}$）^n-1-90．
設(shè)S_k為最小值，則$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{k-1}≥{S}_{k}}\\{{S}_{k+1}≥{S}_{k}}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{k}≤0}\\{{a}_{k+1}≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-15×（\frac{5}{6}）^{k-1}+1≤0}\\{-15×（\frac{5}{6}）^{k}+1≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{5}{6}）^{k-1}≥\frac{1}{15}}\\{（\frac{5}{6}）^{k}≤\frac{1}{15}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{k-1≤lo{g}_{\frac{5}{6}}\frac{1}{15}}\\{k≥lo{g}_{\frac{5}{6}}\frac{1}{15}}\end{array}\right.$，
即log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1}{15}$≤k≤log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1}{15}$+1，又log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1}{15}$=$\frac{lg\frac{1}{15}}{lg\frac{5}{6}}$=$\frac{-lg3-1+lg2}{1-2lg2-lg3}$=$\frac{1+lg3-lg2}{2lg2+lg3-1}$，
lg2≈0.3，lg3≈0.48，∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1}{15}$≈14.75．
∴14.75≤k≤15.75．又∵k∈N₊，∴k=15．
即當(dāng)n=15時，S_n取得最小值．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運(yùn)用數(shù)列通項與前n項和的關(guān)系，考查構(gòu)造數(shù)列法，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項公式，同時考查數(shù)列的求和及最值的求法，注意運(yùn)用不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．