Question

3位男士甲、乙、丙和3位女士A、B、C在一起合影留念，在下面各種條件下各有多少種不同的排法？
（1）排成一排，甲不在兩端；
（2）排成一排，甲不在左端，A不在右端；
（3）若他們是3對夫妻，排成前后兩排，使每對夫妻前后成對；
（4）排成一排，使甲、乙都和A不相鄰．

Answer 1

分析：（1）分2步進行，先排甲，甲不在兩端，再將剩下5個人安排在其余的5個位置，分別計算每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（2）用排除法，先計算6人排成一排的站法數(shù)目，再計算甲在左端和乙在右端的情況數(shù)目，進而計算甲在左端同時乙在右端情況數(shù)目，由事件之間的關系，計算可得答案；
（3）分3步進行，先在每對夫妻中任取1人，再將取出的3人排成一排，作為前排，最后讓剩下的3人對應站在后排，分別計算每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；
（4）分2種情況討論，①甲、乙、A都不相鄰，②甲、乙相鄰但與A不相鄰，分別計算每種情況下的站法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案．

解答：解：（1）先排甲，甲不在兩端，有A₄¹種站法，
再將剩下5個人安排在其余的5個位置，有A₅⁵種情況，
共有A₄¹A₅⁵=480種站法；
（2）6人排成一排，有A₆⁶種站法，
其中甲在左端有A₅⁵種，乙在右端有A₅⁵種，
甲在左端同時乙在右端有A₄⁴種，
則共有A₆⁶-2A₅⁵+A₄⁴=504種站法；
（3）在每對夫妻中任取1人，有2×2×2=8種情況，
再將取出的3人排成一排，作為前排，有A₃³種情況，
最后讓剩下的3人對應站在后排，有1種情況，
則有8×A₃³×1=48種站法；
（4）分2種情況討論，①甲、乙、A都不相鄰有A₃³A₄³種，
②甲、乙相鄰但與A不相鄰有A₃³A₄²A₂²種，
則有A₃³A₄³+A₃³A₄²A₂²=288種站法．

點評：本題考查排列、組合的應用，關鍵在于明確事件之間的關系，同時要掌握特殊問題的處理方法．