Question

已知數列{a_n}滿足a₁=a（a≠0，且a≠1），其前n項和S_n=

a

1-a

（1-a_n）
（1）求證：{a_n}為等比數列；
（2）記b_n=a_nlg|a_n|（n∈N^*），T_n為數列{b_n}的前n項和，那么：
①當a=2時，求T_n；
②當a=-

7

3

時，是否存在正整數m，使得對于任意正整數n都有b_n≥b_m．如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

a

1-a

（1-a_n-1），
整理得：

an

an-1

=a，
所以{a_n}是公比為a的等比數列；
（2）∵a₁=a，∴a_n=aⁿ（n∈N^*），
∴b_n=a_nlg|a_n|=aⁿlg|aⁿ|=naⁿlg|a|（n∈N^*），
①當a=2時，T_n=（2+2•2²++n•2ⁿ）lg2，2T_n=[2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]lg2，
兩式相減得：-T_n=（2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹）lg2，
②∵-1＜a＜1，∴當n為偶數時，b_n=naⁿlg|a|＞0；當n為奇數時，b_n=naⁿlg|a|＜0，
如果存在滿足條件的正整數m，則m一定是偶數，
又b_2k+2-b_2k=2a^2k（a²-1）（k-

a2

1-a2

）lg|a|，其中k∈N^*，
當a=-

7

3

時，a²-1=

2

9

，
∴2a^2k（a²-1）lg|a|＞0，又

a2

1-a2

=

7

2

，
∴當k＞

7

2

時，b_2k+2＞b_2k，即b_g＜b₁₀＜b₁₂；
當k＜

7

2

時，b_2k+2＜b_2k，即b₈＜b₆＜b₄＜b₂，
故存在正整數m=8，使得對于任意正整數n都有b_n≥b_m．