【題目】(本小題滿分12分)
如圖在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的
中點(diǎn).
(1) 求證: AC⊥BC1
(2) 求證:AC1∥平面CDB1
(3) 求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
【答案】
【解析】
試題分析:(1)由勾股定理計(jì)算得AC⊥BC,再由直棱柱性質(zhì)得C1C⊥AC,最后根據(jù)線面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1,即得AC⊥BC1.(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,由三角形中位線性質(zhì)得DE∥AC1,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論(3)因?yàn)?/span>DE∥AC1,所以∠CED為AC1與B1C所成的角.再根據(jù)解三角形得所成角的余弦值.
試題解析:(1)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三邊長AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1平面BCC1B,∴AC⊥BC1.
(2)證明:設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連接DE,又四邊形BCC1B1為正方形.
∵D是AB的中點(diǎn),E是BC1的中點(diǎn),∴DE∥AC1.
∵DE平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1,
∴∠CED為AC1與B1C所成的角.在△CED中,ED=AC1=,
CD=AB=,CE=CB1=2,∴cos∠CED==.
∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.其中為常數(shù).
(1)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記,數(shù)列的前項(xiàng)和為,若不等式對(duì)任意恒成立 ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平測試,學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績抽樣調(diào)查,先將800人按001,002,…,800進(jìn)行編號(hào).
(1)如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀,請你依次寫出最先檢查的3個(gè)人的編號(hào);(下面摘取了第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚?/span>
人 數(shù) | 數(shù) 學(xué) | |||
優(yōu) 秀 | 良 好 | 及 格 | ||
地 理 | 優(yōu) 秀 | 7 | 20 | 5 |
良 好 | 9 | 18 | 6 | |
及 格 | a | 4 | b |
成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí);橫向、縱向分別表示地理成績與數(shù)學(xué)成績,例如:表中數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己玫墓灿?/span>.
①若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率是,求 的值:
②在地理成績及格的學(xué)生中,已知,,求數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下列兩個(gè)命題: 函數(shù)在[2,+∞)單調(diào)遞增; 關(guān)于的不等式的解集為.若為真命題, 為假命題,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班制定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方案:星期一和星期日分別解決個(gè)數(shù)學(xué)問題,且從星期二開始,每天所解決問題的個(gè)數(shù)與前一天相比,要么“多一個(gè)”要么“持平”要么“少一個(gè)”,則在一周中每天所解決問題個(gè)數(shù)的不同方案共有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是某地一家超市在2018年一月份某一周內(nèi)周2到周6的時(shí)間與每天獲得的利潤(單位:萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù).
星期 | 星期2 | 星期3 | 星期4 | 星期5 | 星期6 |
利潤 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求線性回歸直線方程;
(2)估計(jì)星期日獲得的利潤為多少萬元.
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)案質(zhì)量的滿意度,從高一、高二兩個(gè)年級(jí)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)學(xué)生,得到對(duì)學(xué)案滿意度評(píng)分(滿分100分)的莖葉圖如圖:則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.高一學(xué)生滿意度評(píng)分的平均值比高二學(xué)生滿意度評(píng)分的平均值高
B.高一學(xué)生滿意度評(píng)分比較集中,高二學(xué)生滿意度評(píng)分比較分散
C.高一學(xué)生滿意度評(píng)分的中位數(shù)為80
D.高二學(xué)生滿意度評(píng)分的中位數(shù)為74
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1 , F2是橢圓 的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF2與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn),則 (其中e為橢圓C的離心率)的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三特長班的一次月考數(shù)學(xué)成績的莖葉圖和頻率分布直方圖1都受到不同程度的損壞,但可見部分如圖2,據(jù)此解答如下問題:
(Ⅰ)求分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的頻數(shù),并計(jì)算頻率分布直方圖中[70,80)間的矩形的高;
(Ⅱ)若要從分?jǐn)?shù)在[50,70)之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,在抽取的試卷中,求至少有一份在[50,60)之間的概率.
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