Question

一質(zhì)點(diǎn)P由原點(diǎn)出發(fā)作如下運(yùn)動(dòng)：先向第一象限任意方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)距離為r，再沿向量（1，1）方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)距離為m，（其中0≤r≤2，0≤m≤2，r+m=2），則質(zhì)點(diǎn)P所有可能達(dá)到的位置形成的區(qū)域面積為________．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可證出P所有可能達(dá)到的位置形成的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的扇形OAC內(nèi)部，且在四邊形OABC的外部．由此結(jié)合扇形面積和三角形面積公式，即可得到所求的區(qū)域的面積．
解答： 解：如圖所示，扇形OAC是圓心角為直角、半徑為2的扇形，
所求區(qū)域在扇形OAC內(nèi)部，且在△OAB、△OBC外部．
其中A（2，0），B（，），C（0，2）
證明如下
在四邊形OACB內(nèi)任取一點(diǎn)P，假設(shè)有到達(dá)P的路線OQP，
則OQ=r，QP=m且r+m=2
將線段QP兩個(gè)方向延長(zhǎng)，分別交OA、AB于D、E兩點(diǎn)，
注意到△FEA∽△COA是等腰三角形，
∴OA=OD+DA=OD+DE＞OD+DQ+QP＞OQ+QP=r+m
因?yàn)镺A=2且r+m=2，得到2＞2 矛盾．
由此可得：四邊形OABC是P點(diǎn)不能到達(dá)的區(qū)域．
因此，質(zhì)點(diǎn)P所有可能達(dá)到的位置形成的區(qū)域面積為
S=（π×2²）-2×[×2×2×sin45°]=π-2
故答案為：π-2
點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足條件的質(zhì)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)P所有可能達(dá)到的位置形成的區(qū)域面積．著重考查了不等式的應(yīng)用、扇形面積公式和三角形面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．