Question

13．已知拋物線x²=8y與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線交于點A，若點A到拋物線的準線的距離為4，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的一條漸近線方程，代入拋物線方程，求得交點A的坐標，求出拋物線的準線方程，由點到直線的距離公式，計算結(jié)合離心率公式即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程設(shè)為y=$\frac{a}$x，
代入拋物線x²=8y，可得x=$\frac{8b}{a}$，y=$\frac{8^{2}}{{a}^{2}}$，
拋物線x²=8y的準線為y=-2，
由題意可得$\frac{8^{2}}{{a}^{2}}$+2=4，
即有a=2b，c=$\sqrt{5}$b，
即有離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和拋物線的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．