Question

（1）已知x、y都是正實數(shù)，求證：x³+y³≥x²y+xy²；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R，如果關(guān)于x的不等式f（x）≥a-（x-2）²在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,不等式的證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）用比較法證明不等式，（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²，分析符號可得結(jié)論．
（2）轉(zhuǎn)化函數(shù)為分段函數(shù)求出最小值，然后求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 證明：（1）∵（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=x² （x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y² ）
=（x+y）（x-y）²．
∵x，y都是正實數(shù)，∴（x-y）²≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R，
關(guān)于x的不等式f（x）≥a-（x-2）²，轉(zhuǎn)化為：|x+1|+|x-5|+（x-2）²≥a，在R上恒成立，
令g（x）=|x+1|+|x-5|+（x-2）²=

x2-6x+8，x＜-1 x2-4x+10，-1≤x＜5 x2-2x，5≤x

，
x=2時函數(shù)取得最小值為：6，
∴實數(shù)a的取值范圍：（-∞，6]．

點評：本題考查用比較法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，將式子變形是證明的關(guān)鍵．函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．