Question

選修4-5：不等式選講
對于任意實數a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，試求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：設 ，原式變?yōu)閨t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，對任意t恒成立，故|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于
|x-1|+|x-2|，從而求出實數x的取值范圍．
解答：解：原式等價于 ≥|x-1|+|x-2|，設 ，
則原式變?yōu)閨t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，對任意t恒成立．
因為|t+1|+|2t-1|=，最小值在 t= 時取到，為，
所以有 ≥|x-1|+|x-2|=  解得 x∈[，]．
點評：本題考查絕對值不等式的解法，體現了分類討論的數學思想．判斷|t+1|+|2t-1|的最小值大于或等于|x-1|+|x-2|
是解題的關鍵．