Question

（滿分12分）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（II）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）．

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051114292919365951/SYS201305111430107717525092_DA.files/image004.png">，

∵，  

∵，則使的的取值范圍為，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．  

（2）方法1：∵，

∴．

令，              

∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根    

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是 

方法2：∵，

∴．

即，

令， ∵，且，

由．

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

∵，，，

又，

故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根．

即．

綜上所述，的取值范圍是．

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，方程解的討論，不等式組的解法。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考必考內(nèi)容，思路往往比較明確根據(jù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性。對(duì)于方程解的討論，本解法提供了“數(shù)形結(jié)合法”和“導(dǎo)數(shù)法”兩種方法，都說(shuō)明要充分研究函數(shù)的圖象特征，利用函數(shù)的圖象特征解題。本題涉及到了對(duì)數(shù)函數(shù)，應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域。