Question

已知函數(shù)f(x)=lg

kx-1

x-1

．（k∈R且k＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在[10，+∞）上單調(diào)遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)真數(shù)大于零列出不等式，由k＞0分三種情況分別求出函數(shù)的定義域，并用集合或區(qū)間表示；
（2）用分離常數(shù)法對(duì)真數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，由題意和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，確定k的范圍，注意單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)定義域的子集．

解答：解：（1）由題意得，

kx-1

x-1

＞0，即（x-1）（kx-1）＞0，
∵k＞0，∴應(yīng)分三種情況求解：
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，定義域?yàn)?span id="mkc7d7m" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(-∞，1)∪(

1

k

，+∞)，
當(dāng)k=1時(shí)，定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）
當(dāng)k＞1時(shí)，定義域?yàn)?span id="k7g952z" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(-∞，

1

k

)∪(1，+∞)；
（2）令y=

kx-1

x-1

=k+

k-1

x-1

，
∵函數(shù)y=lgx在定義域上單調(diào)遞增，且f（x）在[10，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=

kx-1

x-1

在[10，+∞）上單調(diào)遞增，∴k-1＜0，解得k＜1，
∵當(dāng)0＜k＜1時(shí)，函數(shù)的定義域是(-∞，1)∪(

1

k

，+∞)，
∴

1

k

＜10，即k＞

1

10

，
∴k∈(

1

10

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”法則，還有單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系，這是易錯(cuò)的地方考查了，主要用了分類(lèi)討論思想．