【題目】如圖，三棱柱中，，，平面平面.

（1）求證：；

（2）若，直線與平面所成角為，為的中點，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）過點C作CO⊥AA1，則CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推導出Rt△AOC≌Rt△BOC，從而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能證明AA1⊥BC．

（2）以O為坐標原點，OA，OB，OC所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．

（1）過點作，垂足為，

因為平面平面，

所以平面，故，

又因為，，，

所以，故，

因為，所以，

又因為，所以平面，故.

（2）以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，

因為平面，

所以是直線與平面所成角，

故，

所以，，

，，，，，，

設(shè)平面的法向量為，則

，所以，

令，得，

因為平面，

所以為平面的一條法向量，

，

，

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)p的取值范圍；

（2）問是否存在常數(shù)，使得當時，的值域為區(qū)間D，且D的長度為.

（注：區(qū)間 的長度為）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A、B兩地區(qū)分別隨機調(diào)查了20個用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：

A地區(qū)：

62

73

81

92

95

85

74

64

53

76


78

86

95

66

97

78

88

82

76

89

B地區(qū)：

73

83

62

51

91

46

53

73

64

82


93

48

95

81

74

56

54

76

65

79

（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度的平均值及分散程度（不要求算出具體值，給出結(jié)論即可）：

（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分

低于70分

70分到89分

不低于90分

滿意度等級

不滿意

滿意

非常滿意

記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，求C的概率。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點是橢圓上任一點，點到直線：的距離為，到點的距離為，且，若直線與橢圓交于不同兩點、（、都在軸上方），且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當為橢圓與軸正半軸的交點時，求直線的方程；

（3）對于動直線，是否存在一個定點，無論如何變化，直線總經(jīng)過此定點？若存在，求出定點的坐標，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦點到短軸的端點的距離為，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓于兩點，過點作平行于軸的直線，交直線于點，求證：直線恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線上一點，經(jīng)過點的直線與拋物線交于、兩點（不同于點），直線、分別交直線于點、.

（1）求拋物線方程及其焦點坐標；

（2）求證：以為直徑的圓恰好經(jīng)過原點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法中所有正確的序號是_________

①兩直線的傾斜角相等，則斜率必相等；

②若動點到定點和定直線的距離相等，則動點的軌跡是拋物線；

③已知、是橢圓的兩個焦點，過點的直線與橢圓交于、兩點，則的周長為；

④曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，則它表示雙曲線且漸近線方程為；

⑤已知正方形，則以、為焦點，且過、兩點的橢圓的離心率為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，的內(nèi)心為，、、分別是邊、、的中點，證明：直線平分的周長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若集合具有以下性質(zhì)：（1）且；（2）若，，則，且當時，，則稱集合為“閉集”.

（1）試判斷集合是否為“閉集”，請說明理由；

（2）設(shè)集合是“閉集”，求證：若，，則；

（3）若集合是一個“閉集”，試判斷命題“若，，則”的真假，并說明理由.

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