Question

6．設(shè)單調(diào)函數(shù)y=p（x）的定義域為D，值域為A，如果單調(diào)函數(shù)y=q（x）使得函數(shù)y=p（q（x））的置于也是A，則稱函數(shù)y=q（x）是函數(shù)y=p（x）的一個“保值域函數(shù)”．已知定義域為[a，b]的函數(shù)$h（x）=\frac{2}{|x-3|}$，函數(shù)f（x）與g（x）互為反函數(shù)，且h（x）是f（x）的一個“保值域函數(shù)”，g（x）是h（x）的一個“保值域函數(shù)”，則b-a=1．

Answer 1

分析 由定義可知y=q（x）的值域為y=p（x）的定義域，根據(jù)h（x）單調(diào)性得出a，b的范圍，求出h（x）的值域，從而得出f（x）的定義域和g（x）的值域，再根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)列方程即可解出a，b．

解答 解：由“保值域函數(shù)”的定義可知y=q（x）的值域為y=p（x）的定義域，
∵h(yuǎn)（x）是定義在[a，b]上的單調(diào)函數(shù)，∴a＞3或b＜3．
（1）若a＞3，則h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）的值域為[$\frac{2}{b-3}$，$\frac{2}{a-3}$]，
∵h(yuǎn)（x）是f（x）的一個“保值域函數(shù)”，g（x）是h（x）的一個“保值域函數(shù)”，
∴f（x）的定義域為[$\frac{2}{b-3}$，$\frac{2}{a-3}$]，g（x）的值域為[a，b]，
∵函數(shù)f（x）與g（x）互為反函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{b-3}=a}\\{\frac{2}{a-3}=b}\end{array}\right.$，整理得a=b，與b＞a矛盾（舍）．
（2）若b＜3，則h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）的值域為[$\frac{2}{3-a}$，$\frac{2}{3-b}$]，
同（1）可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3-a}=a}\\{\frac{2}{3-b}=b}\end{array}\right.$，解得a=1，b=2．
∴b-a=1．
故答案為1．

點(diǎn)評 本題考查了對新定義的理解，函數(shù)定義域與值域的計算，屬于中檔題．