Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax-1．
（1）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說出理由．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)x=1為函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，則f'（1）=0求出a的值，
（2）欲使f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，只需f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，利用分離法將a分離出來，求出不等式另一側(cè)的最大值，再驗(yàn)證等號(hào)是否成立，即可求出a的范圍；

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax-1，∴f'（x）=3x²-a．依題意得f'（1）=3-a=0，解得a=3．
（2）假設(shè)存在a滿足條件，由題意知，
f′（x）=3x²-a≤0在（-1，1）上恒成立，
即a≥3x²在（-1，1）上恒成立，∴a≥3．
又a=3，f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3（x²-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，
∴a≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意驗(yàn)證取等號(hào)是否成立，考查計(jì)算能力和分析問題的能力．