Question

四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，M為AB中點(diǎn)，且△SAB為等腰直角三角形，SA=SB=2，SC⊥BD，DA⊥平面SAB．
（1）求證：平面SBD⊥平面SMC
（2）設(shè)四棱錐S-ABCD外接球的球心為H，求棱錐H-MSC的高．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明面面垂直，常用其判定定理來(lái)證明，即在其中一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線與另一平面垂直；
（2）空間中求距離，可用空間向量來(lái)解決，也可用等體積法來(lái)做．
解答：解：（1）∵SA=SB，M為AB中點(diǎn)，∴SM⊥AB
又∵DA⊥平面SAB，∴DA⊥SM，∴SM⊥平面ABCD
又∵DB?平面ABCD，∴SM⊥DB
又SC⊥BD，∴DB⊥平面SMC，∴平面SBD⊥平面SMC．
（2）由（1）知DB⊥平面SMC，∴DB⊥MC
∴△ABD∽△BCM，故⇒⇒BC=2
設(shè)AC∩BD=N，∵AS⊥BS，DA⊥BS，∴SB⊥平面SAD
∴SB⊥SD，顯然NA=NB=NC=ND=NS，所以H與N重合，即為球心．
法一：連接MH，∵SM⊥平面ABCD
∴S_△HMC=S_△ABC-S_△AMH-S_△MBC=，
且，
設(shè)棱錐H-MSC的高是h，則S_△HMC×SM=S_△MSC×h，
∴=．
法二：以點(diǎn)M為原點(diǎn)，分別以MS，MB，MH為X，Y，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（0，0，0），B（0，，0），C（0，，2），H（0，0，1）
所以，，||=，
設(shè)棱錐H-MSC的高為h，則=
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何，主要考查面面垂直，與求空間距離的問題，屬于中檔題．要求考生要熟練掌握此類考題．