Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=t，點(diǎn)（S_n，a_n+1）在直線y=3x+1上，n∈N^*．
（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設(shè)b_n=log₄a_n+1，c_n=a_n+b_n，T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)（S_n，a_n+1）在直線y=3x+1上，可得a_n+1=3S_n+1，再寫(xiě)一式，兩式相減，結(jié)合a₁=t，即可求得t=1時(shí)，a₂=4a₁，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的結(jié)論下，求出，我們可以得到b_n=log₄a_n+1=n，，求和時(shí)利用分組求和，可以得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（S_n，a_n+1）在直線y=3x+1上
∴a_n+1=3S_n+1，①
a_n=3S_n-1+1，②（n＞1）…（2分）
①-②：a_n+1-a_n=3（S_n-S_n-1）=3a_n，
∴a_n+1=4a_n，n＞1…（4分）
∵a₂=3S₁+1=3a₁+1=3t+1，a₁=t，
∴3t+1=4t，∴t=1
∴當(dāng)t=1時(shí)，a₂=4a₁，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列…（6分）
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的結(jié)論下，a_n+1=4a_n，
∴，…（8分）
∴b_n=log₄a_n+1=n，…（9分），…（10分）
∴
…（12分）
點(diǎn)評(píng)：考查數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系，考查等比數(shù)列的定義，考查分組求和，求和時(shí)根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的方法是我們解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵所在．